Часть Б (краткий ответ) 6. В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 4, апофема равна 5. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Решение:

• Основание пирамиды — квадрат. Пусть сторона основания равна a.
• Апофема (h) — это высота боковой грани, которая является равнобедренным треугольником.
• Площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на апофему.

Площадь основания:

\[S_{осн} = a^2\]

Для нахождения стороны основания рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной стороны основания и апофемой. По теореме Пифагора:

\[\left(\frac{a}{2}\right)^2 + H^2 = h^2\]

где H — высота пирамиды, h — апофема.

Подставляем значения:

\[\left(\frac{a}{2}\right)^2 + 4^2 = 5^2\] \[\left(\frac{a}{2}\right)^2 = 25 - 16 = 9\] \[\frac{a}{2} = 3\] \[a = 6\]

Площадь основания:

\[S_{осн} = 6^2 = 36\]

Площадь боковой поверхности:

\[S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h\]

где P — периметр основания, h — апофема.

\[P = 4a = 4 \cdot 6 = 24\] \[S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 5 = 60\]

Площадь полной поверхности:

\[S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 36 + 60 = 96\]

Ответ: 96