7. Около конуса описана сфера (сфера содержит основание конуса и его вершину). Радиус основания конуса равен 3, образующая равна 5. Найдите радиус сферы.

Решение:

• Пусть R - радиус сферы, r - радиус основания конуса, l - образующая конуса.
• Рассмотрим осевое сечение конуса - равнобедренный треугольник с основанием 2r и боковыми сторонами l.
• Центр описанной окружности около этого треугольника будет центром сферы.

Высота конуса (h) может быть найдена по теореме Пифагора:

\[h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\]

Радиус описанной сферы (R) можно найти, используя формулу:

\[R = \frac{l^2}{2h} = \frac{5^2}{2 \cdot 4} = \frac{25}{8} = 3.125\]

Ответ: 3.125