Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны АВ и CD в точках Р и Q соответственно. Докажите, что отрезки ВР и DQ равны.

Доказательство: 1. Рассмотрим параллелограмм ABCD. Пусть O - точка пересечения диагоналей AC и BD. 2. Так как ABCD - параллелограмм, то AO = OC и BO = OD (диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам). 3. Пусть прямая, проходящая через точку O, пересекает стороны AB и CD в точках P и Q соответственно. 4. Рассмотрим треугольники \(\triangle BOP\) и \(\triangle DOQ\). - \(BO = OD\) (как указано выше). - \(\angle PBO = \angle QDO\) (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей BD). - \(\angle BOP = \angle DOQ\) (как вертикальные углы). 5. Следовательно, \(\triangle BOP = \triangle DOQ\) (по второму признаку равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим к ней углам). 6. Из равенства треугольников следует, что BP = DQ (как соответствующие стороны равных треугольников). Таким образом, отрезки BP и DQ равны, что и требовалось доказать.