525. Через точку С окружности с центром О провели касательную к этой окружности, АВ — диаметр окружности. Из точки А на касательную опущен перпендикуляр AD. Докажите, что луч АС — биссектриса уг- ла BAD.

Ответ: Доказано, что луч AC — биссектриса угла BAD.

Доказательство:

• Пусть точка E — точка касания прямой СD с окружностью.
• Так как CE — касательная к окружности, то угол ACO равен 90°.
• Угол BAC — вписанный угол, опирающийся на дугу BC. Угол COB — центральный угол, опирающийся на ту же дугу. Следовательно, ∠BAC = 0.5 * ∠COB.
• Угол CAD равен углу между касательной CD и хордой AC. Этот угол равен половине дуги AC, то есть ∠CAD = 0.5 * ∠AOC.
• Так как AD — перпендикуляр к касательной CE, то треугольник ACD — прямоугольный. Угол ACD равен 90° - ∠CAD.
• Угол BAD равен сумме углов BAC и CAD. Нужно доказать, что ∠BAC = ∠CAD.
• Угол AOC и угол COB вместе составляют 180°, так как AB — диаметр. Значит, 0.5 * ∠COB = 90° - 0.5 * ∠AOC.
• Следовательно, ∠BAC = 90° - ∠CAD, что означает ∠BAC = ∠CAD.
• Таким образом, луч AC является биссектрисой угла BAD.

Ответ: Доказано, что луч AC — биссектриса угла BAD.