528. Известно, что диаметр АВ делит хорду CD пополам, но не перпенди- кулярен ей. Докажите, что CD также диаметр.

Ответ: CD - диаметр

Доказательство:

• Пусть O - центр окружности, а E - точка пересечения AB и CD.
• Так как AB делит CD пополам, то CE = ED.
• Проведем радиусы OC и OD. Тогда OC = OD, так как это радиусы одной и той же окружности.
• Рассмотрим треугольники OCE и ODE. У них CE = ED, OC = OD и OE - общая сторона. Следовательно, треугольники OCE и ODE равны по трем сторонам.
• Значит, углы CEO и DEO равны. Так как сумма этих углов равна 180 градусам, то каждый из них равен 90 градусам.
• Но по условию AB не перпендикулярен CD, а мы получили, что OE перпендикулярен CD, что противоречит условию.
• Если же AB не перпендикулярен CD, то точка E совпадает с центром окружности O. В этом случае CE = ED = радиусу окружности. Следовательно, CD состоит из двух радиусов и является диаметром.

Ответ: CD - диаметр