203 Через центр О окружности, вписанной в треугольник АВС, проведена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки К до сторон треугольника, если AB = BC = 10 см, АС = 12 см, ОК = 4 см.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник ABC. Пусть AH - высота, проведенная к стороне BC. Так как AB = BC, то треугольник ABC - равнобедренный.

2. Найдем высоту AH по теореме Пифагора:

$$AH = \sqrt{AB^2 - (AC/2)^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$$

3. Площадь треугольника ABC равна:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48 \text{ см}^2$$

4. Полупериметр треугольника ABC равен:

$$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{10 + 10 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16$$

5. Радиус вписанной окружности:

$$r = \frac{S_{ABC}}{p} = \frac{48}{16} = 3 \text{ см}$$

6. ОК перпендикулярна плоскости ABC, следовательно, OK перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Пусть KD - перпендикуляр, опущенный из точки К на сторону АВ.

7. Тогда OD - проекция KD на плоскость ABC. Так как OD = r = 3 см, то треугольник OKD - прямоугольный.

8. По теореме Пифагора:

$$KD = \sqrt{OK^2 + OD^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}$$

9. Так как треугольник ABC равнобедренный, расстояние от точки K до сторон AB и BC равно 5 см.

10. Расстояние до стороны AC также равно 5 см, поскольку вписанная окружность касается всех сторон треугольника, и расстояние от центра окружности до каждой стороны одинаково.

Ответ: 5 см