205 Через вершину C прямого угла прямоугольного треугольника ABC проведена прямая CD, перпендикулярная к плоскости этого треугольника. Найдите площадь треугольника ABD, если СА = 3 дм, СВ = 2 дм, CD = 1 дм.

Решение:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. По теореме Пифагора:

$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \text{ дм}$$

2. Так как CD перпендикулярна плоскости ABC, то CD перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, CD перпендикулярна AC и CB.

3. Рассмотрим треугольник ADC. Он прямоугольный, так как CD перпендикулярна AC. Тогда:

$$AD = \sqrt{AC^2 + CD^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \text{ дм}$$

4. Рассмотрим треугольник BDC. Он прямоугольный, так как CD перпендикулярна BC. Тогда:

$$BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \text{ дм}$$

5. Площадь треугольника ABD найдем по формуле Герона:

$$p = \frac{AB + AD + BD}{2} = \frac{\sqrt{13} + \sqrt{10} + \sqrt{5}}{2}$$ $$S_{ABD} = \sqrt{p(p - AB)(p - AD)(p - BD)}$$

Однако, можно решить проще, если рассмотреть треугольник ABD как основание пирамиды CDAB, где CD - высота. Тогда:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3 \text{ дм}^2$$ $$S_{ABD} = \sqrt{S_{ABC}^2 + \frac{1}{4} (AC^2 + BC^2)CD^2} = \sqrt{3^2 + \frac{1}{4}(3^2 + 2^2)1^2} = \sqrt{9 + \frac{1}{4}(9 + 4)} = \sqrt{9 + \frac{13}{4}} = \sqrt{\frac{36 + 13}{4}} = \sqrt{\frac{49}{4}} = \frac{7}{2} = 3.5 \text{ дм}^2$$

Ответ: 3.5 дм²