207 В треугольнике АВС дано: АВ = BC = 13 см, АС = 10 см. Точка М 3 удалена от прямых АВ, ВС и АС на 8 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости АВС, если ее проекция на эту плоскость ле- жит внутри треугольника.

Решение:

1. Пусть МK, ML, MN – перпендикуляры, проведенные из точки M к прямым AB, BC, AC соответственно. Тогда MK = ML = MN = \(8\frac{2}{3}\) см = \(\frac{26}{3}\) см.

2. Так как точка М удалена от прямых АВ, ВС и АС на одинаковое расстояние, то проекция точки М на плоскость АВС является центром вписанной в треугольник АВС окружности. Обозначим эту точку О. Расстояние от точки М до плоскости АВС – это длина отрезка МО.

3. Найдем площадь треугольника АВС. Так как АВ = ВС, треугольник АВС – равнобедренный. Проведем высоту BD к основанию АС. Тогда AD = DC = 5 см.

4. По теореме Пифагора:

$$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$$ $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60 \text{ см}^2$$

5. Найдем полупериметр треугольника АВС:

$$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{13 + 13 + 10}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ см}$$

6. Радиус вписанной окружности равен:

$$r = \frac{S_{ABC}}{p} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3} \text{ см}$$

7. Рассмотрим прямоугольный треугольник MOK. MK = \(\frac{26}{3}\) см, OK = r = \(\frac{10}{3}\) см. По теореме Пифагора:

$$MO = \sqrt{MK^2 - OK^2} = \sqrt{\left(\frac{26}{3}\right)^2 - \left(\frac{10}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{676}{9} - \frac{100}{9}} = \sqrt{\frac{576}{9}} = \frac{24}{3} = 8 \text{ см}$$

Ответ: 8 см