208 Из точки К, удаленной от плоскости а на 9 см, проведены к плоскости с наклонные KL и КМ, образующие между собой прямой угол, а с плоскостью а – углы в 45° и 30° соответственно. Найдите отрезок LM.

Решение:

1. Пусть КO - перпендикуляр к плоскости α, KO = 9 см. KL и KM - наклонные к плоскости α. ∠LKM = 90°. ∠KLO = 45°, ∠KMO = 30°.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник KLO. ∠KLO = 45°, следовательно, ∠LKO = 45°. Тогда KO = LO = 9 см.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник KMO. ∠KMO = 30°. Тогда KO = \(\frac{1}{2}\) KM, следовательно, KM = 2KO = 18 см.

4. По теореме Пифагора:

$$MO = \sqrt{KM^2 - KO^2} = \sqrt{18^2 - 9^2} = \sqrt{324 - 81} = \sqrt{243} = 9\sqrt{3} \text{ см}$$

5. Рассмотрим треугольник LMO. ∠LKM = 90°. Тогда по теореме Пифагора:

$$LM = \sqrt{LO^2 + MO^2} = \sqrt{9^2 + (9\sqrt{3})^2} = \sqrt{81 + 81 \cdot 3} = \sqrt{81 + 243} = \sqrt{324} = 18 \text{ см}$$

Ответ: 18 см