204 Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости правильного треугольника АВС и проходит через центр О этого треугольника, ОМ = а, <MCO = Ф. Найдите: а) расстояние от точки М до каждой из вершин треугольника АВС и до прямых АВ, ВС и СА; б) длину окружности, описанной около треугольника АВС; в) площадь треугольника АВС.

Решение:

а) Расстояние от точки М до каждой из вершин треугольника АВС и до прямых АВ, ВС и СА.

1. Т.к. треугольник АВС - правильный, то центр О является точкой пересечения медиан, биссектрис и высот.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник MOC. OM = a, ∠MCO = φ. Тогда:

$$OC = \frac{OM}{tg φ} = \frac{a}{tg φ}$$

3. OC - радиус описанной окружности около треугольника ABC, т.е.

$$R = \frac{a}{tg φ}$$

4. Расстояние от точки М до каждой из вершин треугольника АВС:

$$MC = \sqrt{OM^2 + OC^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{tg^2 φ}} = a\sqrt{1 + \frac{1}{tg^2 φ}} = a\sqrt{1 + ctg^2 φ}$$

5. Найдем сторону треугольника АВС:

$$AB = R\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{tg φ}$$

6. Расстояние от точки О до стороны треугольника АВС:

$$r = \frac{R}{2} = \frac{a}{2tg φ}$$

7. Рассмотрим прямоугольный треугольник MOD, где D - середина AB. Тогда MD - расстояние от точки M до прямой AB:

$$MD = \sqrt{OM^2 + OD^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4tg^2 φ}} = a\sqrt{1 + \frac{1}{4tg^2 φ}}$$

Так как треугольник ABC правильный, то расстояния от точки M до прямых AB, BC и CA равны.

б) Длина окружности, описанной около треугольника АВС:

$$L = 2πR = \frac{2πa}{tg φ}$$

в) Площадь треугольника АВС:

$$S_{ABC} = \frac{AB^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{4tg^2 φ}$$

Ответ: а) $$MC = a\sqrt{1 + ctg^2 φ}$$, $$MD = a\sqrt{1 + \frac{1}{4tg^2 φ}}$$; б) $$L = \frac{2πa}{tg φ}$$; в) $$S_{ABC} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{4tg^2 φ}$$