10.8. Через центр О правильного треугольника ABC проведена прямая DO, перпендикулярная плоскости АВС (рис. 10.22). Найдите отрезок DO, если АВ = 6 см, DA = 4 см.

Рассмотрим правильный треугольник ABC. Так как O - центр правильного треугольника, то O является точкой пересечения медиан, биссектрис и высот. AO - радиус описанной окружности, BO и CO тоже радиусы.

Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Следовательно, $$AO = \frac{2}{3}AM$$, где AM - медиана и высота треугольника ABC.

Высоту AM найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABM, где BM = 3 см (половина стороны правильного треугольника ABC):

$$ AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \text{ см}. $$

Тогда $$AO = \frac{2}{3} \cdot 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \text{ см}$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOD (DO перпендикулярна плоскости ABC, значит, DO перпендикулярна AO). По теореме Пифагора:

$$ DO = \sqrt{AD^2 - AO^2} = \sqrt{4^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 - 12} = \sqrt{4} = 2 \text{ см}. $$

Ответ: 2 см