10.10. Точка О - центр грани ABCD куба ABCDA₁B₁C₁D₁, ребро которого равно а (рис. 10.24). Найдите: 1) расстояние от точки О до вершины В₁ куба; 2) тангенс угла между прямыми В₁О и DD₁.

1) Рассмотрим куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Точка O - центр грани ABCD, то есть точка пересечения диагоналей квадрата ABCD. Следовательно, O - середина BD.

Расстояние от точки O до вершины B₁ куба - это длина отрезка OB₁.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OBB₁. OB = \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\) (половина диагонали квадрата), BB₁ = a (ребро куба). По теореме Пифагора:

$$ OB_1 = \sqrt{OB^2 + BB_1^2} = \sqrt{(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 + a^2} = \sqrt{\frac{2a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{a^2}{2} + a^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{2}} = a\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}. $$

2) Прямая DD₁ параллельна прямой BB₁, следовательно, угол между прямыми B₁O и DD₁ равен углу между прямыми B₁O и BB₁, то есть ∠OB₁B.

Тангенс угла ∠OB₁B в прямоугольном треугольнике OBB₁ равен отношению противолежащего катета OB к прилежащему катету BB₁:

$$\tan ∠OB_1B = \frac{OB}{BB_1} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2}. $$

Ответ: 1) $$\frac{a\sqrt{6}}{2}$$; 2) $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$