10.11. Диагональ В₁D прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равна 17 см, а диагональ АВ₁ боковой грани АА₁В₁В равна 15 см (рис. 10.25). Найдите ребро AD параллелепипеда.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Диагональ B₁D = 17 см, диагональ AB₁ = 15 см. Нужно найти ребро AD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABB₁. По теореме Пифагора:

$$ AB^2 + BB_1^2 = AB_1^2. $$

Рассмотрим прямоугольный треугольник BDD₁. По теореме Пифагора:

$$ BD^2 + BB_1^2 = B_1D^2. $$

BD - диагональ основания ABCD, ABCD - прямоугольник, значит, по теореме Пифагора:

$$ AB^2 + AD^2 = BD^2. $$

Выразим AB² из первого уравнения:

$$ AB^2 = AB_1^2 - BB_1^2 = 15^2 - BB_1^2 = 225 - BB_1^2. $$

Подставим это выражение в третье уравнение:

$$ 225 - BB_1^2 + AD^2 = BD^2. $$

Выразим BD² из второго уравнения:

$$ BD^2 = B_1D^2 - BB_1^2 = 17^2 - BB_1^2 = 289 - BB_1^2. $$

Тогда

$$ 225 - BB_1^2 + AD^2 = 289 - BB_1^2. $$ $$ AD^2 = 289 - 225 = 64. $$ $$ AD = \sqrt{64} = 8 \text{ см}. $$

Ответ: 8 см