4. Четырехугольник ABCD вписан в окружность диаметра AC. Найдите углы четырехугольника, если дуга BC = 100°, дуга CD = 60°.

Поскольку AC - диаметр окружности, дуга ADC = 180° и дуга ABC = 180°. Следовательно, дуга AB = дуга ABC - дуга BC = 180° - 100° = 80°. И дуга AD = дуга ADC - дуга CD = 180° - 60° = 120°. Теперь найдем углы четырехугольника, используя свойство вписанного угла: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. $$\angle B = \frac{1}{2} \cdot$$ дуга $$ADC = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$$ $$\angle D = \frac{1}{2} \cdot$$ дуга $$ABC = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$$ $$\angle A = \frac{1}{2} \cdot$$ дуга $$BCD = \frac{1}{2} \cdot (100^\circ + 60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 160^\circ = 80^\circ$$ $$\angle C = \frac{1}{2} \cdot$$ дуга $$BAD = \frac{1}{2} \cdot (80^\circ + 120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 200^\circ = 100^\circ$$ Ответ: ∠A = 80°, ∠B = 90°, ∠C = 100°, ∠D = 90°