4. Четырехугольник MNKP вписан в окружность диаметра MK. Найдите углы четырехугольника, если дуга NK = 140°, дуга PK = 100°.

Так как MK – диаметр, то дуга MNK = 180° и дуга MPK = 180°. Найдем дугу MN: дуга MN = дуга MNK - дуга NK = 180° - 140° = 40°. Найдем дугу MP: дуга MP = дуга MPK - дуга PK = 180° - 100° = 80°. Теперь найдем углы четырехугольника, учитывая, что вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается: $$\angle P = \frac{1}{2} \cdot$$ дуга MNK = $$\frac{1}{2} \cdot 180° = 90°$$ $$\angle N = \frac{1}{2} \cdot$$ дуга MPK = $$\frac{1}{2} \cdot 180° = 90°$$ $$\angle M = \frac{1}{2} \cdot$$ дуга NKP. Дуга NKP = дуга NK + дуга PK = 140° + 100° = 240°. Тогда $$\angle M = \frac{1}{2} \cdot 240° = 120°$$ $$\angle K = \frac{1}{2} \cdot$$ дуга MNP. Дуга MNP = дуга MN + дуга MP = 40° + 80° = 120°. Тогда $$\angle K = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°$$ Ответ: ∠P = 90°, ∠N = 90°, ∠M = 120°, ∠K = 60°