5. В равнобедренный треугольник с боковой стороной 15 см и периметром 54 см вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

Пусть a - боковая сторона, b - основание. Периметр P = 2a + b. Так как a = 15 см и P = 54 см, то: 54 = 2 * 15 + b 54 = 30 + b b = 54 - 30 b = 24 см Полупериметр p = P/2 = 54/2 = 27 см. Площадь треугольника можно найти по формуле Герона: $$S = \sqrt{p(p-a)(p-a)(p-b)} = \sqrt{27(27-15)(27-15)(27-24)} = \sqrt{27 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 3} = \sqrt{3 \cdot 9 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 3} = 3 \cdot 12 \cdot 3 = 108$$ см² Радиус вписанной окружности можно найти по формуле: $$r = \frac{S}{p} = \frac{108}{27} = 4$$ см Ответ: r = 4 см