6. Четырёхугольник \(ABCD\) — трапеция (\(BC \parallel AD\)), \(O\) — точка пересечения диагоналей. Найдите \(BO\) и \(OD\), если \(BC = 3\), \(AD = 5\), \(BD = 24\).

Т.к. \(BC \parallel AD\), то \(\triangle BOC \sim \triangle DOA\) (по двум углам: \(\angle OBC = \angle ODA\) как накрест лежащие при параллельных прямых и секущей, \(\angle BOC = \angle DOA\) как вертикальные). Отношение сходственных сторон равно \(\frac{BC}{AD} = \frac{3}{5}\). Пусть \(BO = x\), тогда \(OD = 24 - x\). \(\frac{BO}{OD} = \frac{BC}{AD}\), \(\frac{x}{24 - x} = \frac{3}{5}\). \(5x = 3(24 - x)\), \(5x = 72 - 3x\), \(8x = 72\), \(x = 9\), значит, \(BO = 9\), \(OD = 24 - 9 = 15\).

Ответ: \(BO = 9\), \(OD = 15\)