Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 4 и CD = 7 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём угол AKB равен 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Так как четырёхугольник вписан в окружность, углы \(AKB\) и \(CKD\) вертикальные, а значит, равны и оба составляют \(60^\circ\). По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд:

\(AK\cdot KC=BK\cdot KD\).

Площади треугольников \(AKB\) и \(CKD\) относятся как произведения соответствующих сторон, заключающих равные углы. Следовательно, \(\frac{S_{AKB}}{S_{CKD}}=\frac{AK\cdot BK}{CK\cdot DK}=1\), то есть площади равны. Используя формулу площади через две стороны и угол между ними, получаем \(AB^2\sin60^\circ=CD^2\text{ не следует из равенства площадей; вместо этого }AK\cdot BK=CK\cdot DK\text{ из равенства площадей, а произведение хорд даёт }AK\cdot CK=BK\cdot DK\). Деление этих равенств даёт \(AK/BK=BK/CK\) и в сочетании с данными не определяет однозначно радиус.

Действительно, зададим окружность радиуса R и вписанные хорды AB длины 4 и CD длины 7 так, чтобы угол между диагоналями был 60°. Условие пересечения хорд фиксирует только произведение отрезков, но не их отдельные значения; положение хорд допускает семейство конфигураций. Следовательно, указанных данных недостаточно для однозначного определения радиуса.

Ответ: радиус однозначно определить нельзя; нужно дополнительное условие.