3. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке К, BK = 11, DK = 15, ВС = 22. Найдите AD.

Логика такая:

Пошаговое решение:

• По свойству секущихся прямых, если прямые \( AB \) и \( CD \) пересекаются вне окружности в точке \( K \), то \( BK \cdot AK = DK \cdot CK \).
• Пусть \( AK = AB + BK \) и \( CK = CD + DK \). Тогда \( AK = AB + 11 \) и \( CK = CD + 15 \).
• Треугольники \( BCK \) и \( ADK \) подобны по двум углам (угол \( K \) общий, углы \( B \) и \( D \) опираются на одну дугу).
• Значит, \( \frac{BK}{DK} = \frac{CK}{AK} = \frac{BC}{AD} \).
• \( \frac{11}{15} = \frac{22}{AD} \). Отсюда \( AD = \frac{22 \cdot 15}{11} = 2 \cdot 15 = 30 \).

Ответ: 30