Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK=14, DK=10, BC=21. Найдите AD.

Задание 7. Вписанный четырёхугольник и секущие

Дано:

• Четырёхугольник \( ABCD \) вписан в окружность.
• \( AB \) и \( CD \) пересекаются в точке \( K \).
• \( BK = 14 \)
• \( DK = 10 \)
• \( BC = 21 \)

Найти: \( AD \)

Решение:

Рассмотрим треугольники \( KBC \) и \( KAD \).

• Угол \( K \) — общий для обоих треугольников.
• Угол \( KBC \) равен углу \( KDA \), так как оба угла являются внешними углами при основаниях вписанного четырёхугольника, опирающимися на одну и ту же дугу \( AC \). Внутренний угол \( ADC \) и внешний угол \( KDA \) равны. Угол \( ADC \) равен углу \( ABC \) (как углы, опирающиеся на одну дугу \( AC \)). То есть \( \angle KBC = \angle ABC \) и \( \angle KDA = \angle CDA \). Углы \( ABC \) и \( CDA \) равны, так как они опираются на диаметр. Ошибка в рассуждении.

Правильное рассуждение:

Углы \( KAD \) и \( KCB \) равны, так как являются углами, опирающимися на дугу \( BD \) (угол \( CAD \) = угол \( CBD \) и угол \( ADB \) = угол \( ACB \)).

Рассмотрим треугольники \( KAD \) и \( KCB \).

• \( \angle AKD = \angle CKB \) (вертикальные углы).
• \( \angle KDA = \angle KBC \) (углы, опирающиеся на дугу \( AC \)).

Следовательно, треугольники \( KAD \) и \( KCB \) подобны по двум углам.

Из подобия следует пропорциональность сторон:

\[ \frac{KA}{KC} = \frac{KD}{KB} = \frac{AD}{CB} \]

Нам дано \( BK = 14 \), \( DK = 10 \), \( BC = 21 \). Нам нужно найти \( AD \).

Из пропорции имеем:

\[ \frac{KD}{KB} = \frac{AD}{CB} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{10}{14} = \frac{AD}{21} \]

Вычислим \( AD \):

\[ AD = 21 \cdot \frac{10}{14} = 21 \cdot \frac{5}{7} = 3 \cdot 5 = 15 \]

Ответ: \( AD = 15 \).