1. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK=4, DK=12, BC=21. Найдите AD.

По теореме о секущихся, произведения отрезков секущих равны. (BK cdot AK = DK cdot CK) (4 cdot AK = 12 cdot CK) (AK = 3 cdot CK) Также, (CK = BC + BK = 21 + 4 = 25). Тогда (CK = CD + DK), следовательно, (CD = CK - DK = 25 - 12 = 13). Теперь найдем (AK: AK = 3 cdot CK = 3 cdot 25 = 75). (AK = AB + BK), следовательно, (AB = AK - BK = 75 - 4 = 71). По теореме о секущихся: (BK cdot AK = DK cdot CK), также (BK cdot (BC + BK) = DK cdot (AD + DK)) (4 cdot (AD + 12) = 4 cdot 75 = 12 cdot 25) (AD + 12 = rac{12 cdot 25}{4} = 3 cdot 25 = 75) (AD = 75 - 12 = 63). Ответ: 63