3. Числитель обыкновенной несократимой дроби на 3 меньше знаменателя. Если к числителю и знаменателю прибавить 1, то дробь увеличится на $$\frac{3}{20}$$. Найдите эту дробь.

**Решение:** 1. Обозначим числитель дроби как $$n$$, а знаменатель как $$d$$. 2. Из условия задачи имеем: * $$n = d - 3$$ (числитель на 3 меньше знаменателя) * $$\frac{n+1}{d+1} = \frac{n}{d} + \frac{3}{20}$$ 3. Подставим первое уравнение во второе: $$\frac{(d-3)+1}{d+1} = \frac{d-3}{d} + \frac{3}{20}$$ $$\frac{d-2}{d+1} = \frac{d-3}{d} + \frac{3}{20}$$ 4. Приведем к общему знаменателю: $$\frac{d-2}{d+1} - \frac{d-3}{d} = \frac{3}{20}$$ $$\frac{d(d-2)-(d+1)(d-3)}{d(d+1)} = \frac{3}{20}$$ $$\frac{d^2-2d-(d^2-3d+d-3)}{d^2+d} = \frac{3}{20}$$ $$\frac{d^2-2d-d^2+2d+3}{d^2+d} = \frac{3}{20}$$ $$\frac{3}{d^2+d} = \frac{3}{20}$$ $$d^2+d = 20$$ $$d^2+d-20=0$$ $$(d+5)(d-4) = 0$$ $$d=-5$$ или $$d=4$$. Т.к. знаменатель не может быть отрицательным, то $$d=4$$. Тогда $$n = 4-3 = 1$$. Искомая дробь: $$\frac{1}{4}$$ Проверим: $$\frac{1+1}{4+1} = \frac{2}{5}$$ $$\frac{1}{4} + \frac{3}{20} = \frac{5+3}{20} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$$ **Ответ:** $$\frac{1}{4}$$