CLXIII. На острове туземцев племени Топ-Топ любые две деревни соединены отдельной дорогой. После постройки трёх новых деревень туземцам пришлось построить 33 новые дороги. Сколько деревень стало на острове туземцев племени Топ-Топ? Ответ объясните.

Пусть n - исходное количество деревень на острове. Тогда количество дорог между ними равно $$\frac{n(n-1)}{2}$$. После постройки трёх новых деревень, количество деревень стало n + 3, и количество дорог стало $$\frac{(n+3)(n+2)}{2}$$. По условию, разница между новым и старым количеством дорог равна 33.

$$\frac{(n+3)(n+2)}{2} - \frac{n(n-1)}{2} = 33$$

Умножим обе части уравнения на 2:

$$(n+3)(n+2) - n(n-1) = 66$$

Раскроем скобки:

$$n^2 + 5n + 6 - n^2 + n = 66$$

$$6n + 6 = 66$$

$$6n = 60$$

$$n = 10$$

Итак, изначально на острове было 10 деревень. После постройки новых деревень стало 10 + 3 = 13 деревень.

Ответ: стало 13 деревень.