6. 1 - 6cos² x = 2sin 2x + cos 2x

Решим тригонометрическое уравнение $$1 - 6\cos^2 x = 2\sin 2x + \cos 2x$$.

Используем формулы $$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$$ и $$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$$.

$$1 - 6\cos^2 x = 2 \cdot 2 \sin x \cos x + \cos^2 x - \sin^2 x$$

$$1 - 6\cos^2 x = 4 \sin x \cos x + \cos^2 x - \sin^2 x$$

$$1 - 6\cos^2 x - 4 \sin x \cos x - \cos^2 x + \sin^2 x = 0$$

$$1 - 7\cos^2 x - 4 \sin x \cos x + \sin^2 x = 0$$

Используем основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2x + \cos^2x = 1$$, отсюда $$1 = \sin^2x + \cos^2x$$.

$$\sin^2x + \cos^2x - 7\cos^2 x - 4 \sin x \cos x + \sin^2 x = 0$$

$$2\sin^2x - 6\cos^2 x - 4 \sin x \cos x = 0$$

$$\sin^2x - 3\cos^2 x - 2 \sin x \cos x = 0$$

Разделим обе части уравнения на $$\cos^2 x$$ (при условии, что $$\cos x
e 0$$):

$$\frac{\sin^2x}{\cos^2 x} - 3\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} - 2 \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} = 0$$

$$\tan^2x - 3 - 2 \tan x = 0$$

$$\tan^2x - 2 \tan x - 3 = 0$$

Введем замену $$t = \tan x$$, тогда уравнение примет вид:

$$t^2 - 2t - 3 = 0$$

$$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

$$t_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

$$t_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

Вернемся к замене:

1. $$\tan x = 3$$

$$x = \arctan(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

2. $$\tan x = -1$$

$$x = \arctan(-1) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

Теперь рассмотрим случай, когда $$\cos x = 0$$. Тогда $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$, где $$n \in \mathbb{Z}$$.

Подставим в исходное уравнение:

$$\sin^2\left(\frac{\pi}{2} + \pi n\right) - 3\cos^2 \left(\frac{\pi}{2} + \pi n\right) - 2 \sin \left(\frac{\pi}{2} + \pi n\right) \cos \left(\frac{\pi}{2} + \pi n\right) = 0$$

$$\sin^2\left(\frac{\pi}{2} + \pi n\right) = 0$$

$$\sin \left(\frac{\pi}{2} + \pi n\right) = 0$$

Это неверно, т.к. при $$\cos x = 0$$, $$\sin x = \pm 1$$. Значит, $$\{\frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\}$$ не является решением исходного уравнения.

Ответ: $$x = \arctan(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$; $$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$.