4. 3 tgx-5ctg x + 14 = 0

Решим тригонометрическое уравнение $$3\tan x - 5\cot x + 14 = 0$$.

Т.к. $$\cot x = \frac{1}{\tan x}$$, то уравнение можно переписать в виде:

$$3\tan x - \frac{5}{\tan x} + 14 = 0$$

$$3\tan x + 14 - \frac{5}{\tan x} = 0$$

Умножим обе части уравнения на $$\tan x$$ (при условии, что $$\tan x
e 0$$):

$$3\tan^2 x + 14 \tan x - 5 = 0$$

Введем замену $$t = \tan x$$, тогда уравнение примет вид:

$$3t^2 + 14t - 5 = 0$$

$$D = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256$$

$$t_1 = \frac{-14 + \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 + 16}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

$$t_2 = \frac{-14 - \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 - 16}{6} = \frac{-30}{6} = -5$$

Вернемся к замене:

1. $$\tan x = \frac{1}{3}$$

$$x = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

2. $$\tan x = -5$$

$$x = \arctan(-5) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

$$x = -\arctan(5) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

Теперь рассмотрим случай, когда $$\tan x = 0$$. Тогда $$x = \pi n$$, где $$n \in \mathbb{Z}$$.

Подставим в исходное уравнение:

$$3\tan(\pi n) - 5\cot(\pi n) + 14 = 0$$

$$3 \cdot 0 - 5\cot(\pi n) + 14 = 0$$

$$- 5\cot(\pi n) + 14 = 0$$

$$\cot(\pi n) = \frac{14}{5}$$

Это неверно, т.к. $$\cot(\pi n)$$ не определен. Значит, $$\{\pi n, n \in \mathbb{Z}\}$$ не является решением исходного уравнения.

Ответ: $$x = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$; $$x = -\arctan(5) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$.