5. 10sin²x - sin 2x = 8cos² x

Решим тригонометрическое уравнение $$10\sin^2x - \sin 2x = 8\cos^2 x$$.

Используем формулу $$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$$.

$$10\sin^2x - 2 \sin x \cos x = 8\cos^2 x$$

$$10\sin^2x - 2 \sin x \cos x - 8\cos^2 x = 0$$

$$5\sin^2x - \sin x \cos x - 4\cos^2 x = 0$$

Разделим обе части уравнения на $$\cos^2 x$$ (при условии, что $$\cos x
e 0$$):

$$5\frac{\sin^2x}{\cos^2x} - \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - 4\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$$

$$5\tan^2x - \tan x - 4 = 0$$

Введем замену $$t = \tan x$$, тогда уравнение примет вид:

$$5t^2 - t - 4 = 0$$

$$D = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 1 + 80 = 81$$

$$t_1 = \frac{1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{1 + 9}{10} = \frac{10}{10} = 1$$

$$t_2 = \frac{1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{1 - 9}{10} = \frac{-8}{10} = -\frac{4}{5}$$

Вернемся к замене:

1. $$\tan x = 1$$

$$x = \arctan(1) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

2. $$\tan x = -\frac{4}{5}$$

$$x = \arctan\left(-\frac{4}{5}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

$$x = -\arctan\left(\frac{4}{5}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

Теперь рассмотрим случай, когда $$\cos x = 0$$. Тогда $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$, где $$n \in \mathbb{Z}$$.

Подставим в исходное уравнение:

$$5\sin^2\left(\frac{\pi}{2} + \pi n\right) - \sin \left(\frac{\pi}{2} + \pi n\right) \cos \left(\frac{\pi}{2} + \pi n\right) - 4\cos^2 \left(\frac{\pi}{2} + \pi n\right) = 0$$

$$5\sin^2\left(\frac{\pi}{2} + \pi n\right) = 0$$

$$\sin^2\left(\frac{\pi}{2} + \pi n\right) = 0$$

$$\sin \left(\frac{\pi}{2} + \pi n\right) = 0$$

Это неверно, т.к. при $$\cos x = 0$$, $$\sin x = \pm 1$$. Значит, $$\{\frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\}$$ не является решением исходного уравнения.

Ответ: $$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$; $$x = -\arctan\left(\frac{4}{5}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$.