8.3. 10 cos²x-2 sin 2x = 3;

Решим тригонометрическое уравнение.

$$10\cos^2x - 2\sin2x = 3$$

$$10\cos^2x - 4\sin x\cos x = 3(\sin^2x + \cos^2x)$$

$$10\cos^2x - 4\sin x\cos x = 3\sin^2x + 3\cos^2x$$

$$7\cos^2x - 4\sin x\cos x - 3\sin^2x = 0$$

Разделим обе части уравнения на $$\cos^2x$$, при $$\cos x
eq 0$$, получим:

$$\frac{7\cos^2x}{\cos^2x} - \frac{4\sin x\cos x}{\cos^2x} - \frac{3\sin^2x}{\cos^2x} = 0$$

$$7 - 4\tan x - 3\tan^2x = 0$$

$$3\tan^2x + 4\tan x - 7 = 0$$

Пусть $$\tan x = t$$, тогда уравнение примет вид:

$$3t^2 + 4t - 7 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 16 + 84 = 100$$

$$t_1 = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 + 10}{6} = \frac{6}{6} = 1$$

$$t_2 = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 - 10}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}$$

Вернемся к замене $$\tan x = t$$:

1. $$\tan x = 1$$

   $$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

2. $$\tan x = -\frac{7}{3}$$

   $$x = \arctan(-\frac{7}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$

   $$x = -\arctan(\frac{7}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; x = -\arctan(\frac{7}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$