8.2. sin2x+8 sin² x = 5;

Решим тригонометрическое уравнение.

$$\sin2x + 8\sin^2x = 5$$

$$2\sin x\cos x + 8\sin^2x = 5(\sin^2x + \cos^2x)$$

$$2\sin x\cos x + 8\sin^2x = 5\sin^2x + 5\cos^2x$$

$$2\sin x\cos x + 3\sin^2x - 5\cos^2x = 0$$

Разделим обе части уравнения на $$\cos^2x$$, при $$\cos x
eq 0$$, получим:

$$\frac{2\sin x\cos x}{\cos^2x} + \frac{3\sin^2x}{\cos^2x} - \frac{5\cos^2x}{\cos^2x} = 0$$

$$2\tan x + 3\tan^2x - 5 = 0$$

$$3\tan^2x + 2\tan x - 5 = 0$$

Пусть $$\tan x = t$$, тогда уравнение примет вид:

$$3t^2 + 2t - 5 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64$$

$$t_1 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 8}{6} = \frac{6}{6} = 1$$

$$t_2 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 8}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$$

Вернемся к замене $$\tan x = t$$:

1. $$\tan x = 1$$

   $$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

2. $$\tan x = -\frac{5}{3}$$

   $$x = \arctan(-\frac{5}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$

   $$x = -\arctan(\frac{5}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; x = -\arctan(\frac{5}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$