8.1. 4 sin²x-sin 2x = 3;

Решим тригонометрическое уравнение.

$$4\sin^2x - \sin2x = 3$$

$$4\sin^2x - 2\sin x\cos x - 3 = 0$$

$$4\sin^2x - 2\sin x\cos x - 3(\sin^2x + \cos^2x) = 0$$

$$4\sin^2x - 2\sin x\cos x - 3\sin^2x - 3\cos^2x = 0$$

$$\sin^2x - 2\sin x\cos x - 3\cos^2x = 0$$

Разделим обе части уравнения на $$\cos^2x$$, при $$\cos x
eq 0$$, получим:

$$\frac{\sin^2x}{\cos^2x} - \frac{2\sin x\cos x}{\cos^2x} - \frac{3\cos^2x}{\cos^2x} = 0$$

$$\tan^2x - 2\tan x - 3 = 0$$

Пусть $$\tan x = t$$, тогда уравнение примет вид:

$$t^2 - 2t - 3 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

$$t_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

$$t_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

Вернемся к замене $$\tan x = t$$:

1. $$\tan x = 3$$

   $$x = \arctan 3 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

2. $$\tan x = -1$$

   $$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $$x = \arctan 3 + \pi n, n \in \mathbb{Z}; x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$