8.18. 2sin2x= 2 cos² x + 1;

Решим тригонометрическое уравнение.

$$2\sin2x = 2\cos^2x + 1$$

$$4\sin x\cos x = 2\cos^2x + \sin^2x + \cos^2x$$

$$4\sin x\cos x = 3\cos^2x + \sin^2x$$

$$\sin^2x - 4\sin x\cos x + 3\cos^2x = 0$$

Разделим обе части уравнения на $$\cos^2x$$, при $$\cos x
eq 0$$, получим:

$$\frac{\sin^2x}{\cos^2x} - \frac{4\sin x\cos x}{\cos^2x} + \frac{3\cos^2x}{\cos^2x} = 0$$

$$\tan^2x - 4\tan x + 3 = 0$$

Пусть $$\tan x = t$$, тогда уравнение примет вид:

$$t^2 - 4t + 3 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$$

$$t_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

$$t_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Вернемся к замене $$\tan x = t$$:

1. $$\tan x = 3$$

   $$x = \arctan 3 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

2. $$\tan x = 1$$

   $$x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $$x = \arctan 3 + \pi n, n \in \mathbb{Z}; x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$