Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁, ребро которого равно 1 см. На диагонали AC его грани отметили точку F так, что AF : FC = 3 : 7. 1) Выразите вектор B₁F через векторы B₁A₁, B₁C₁ и B₁B. 2) Найдите модуль вектора B₁F.

1. Поскольку AF : FC = 3 : 7, точка F делит диагональ AC в отношении 3 : 7, поэтому AF = 3/10 · AC. Возьмём координаты A (0; 0; 0), B (1; 0; 0), C (1; 1; 0), A₁ (0; 0; 1), B₁ (1; 0; 1), C₁ (1; 1; 1). Тогда F (3/10; 3/10; 0).

   Векторы B₁A₁ = (−1; 0; 0), B₁C₁ = (0; 1; 0), B₁B = (0; 0; −1), а B₁F = (−7/10; 3/10; −1). Следовательно, B₁F = (7/10)B₁A₁ + (3/10)B₁C₁ + B₁B.

2. Эти три вектора взаимно перпендикулярны и имеют длину 1. Поэтому |B₁F| = √((7/10)² + (3/10)² + 1²) = √158/10 см.

Ответ: 1) B₁F = (7/10)B₁A₁ + (3/10)B₁C₁ + B₁B; 2) |B₁F| = √158/10 см.