Основанием пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD. Ребро SD перпендикулярно плоскости основания. Перпендикулярно ребру SB через его середину проведена плоскость, пересекающая прямую CD в точке N. Найдите отрезок NC, если AB = 2 см, BC = 1 см, SD = 4 см.

Введём координаты: A (0; 0; 0), B (2; 0; 0), C (2; 1; 0), D (0; 1; 0). Поскольку SD перпендикулярно основанию и равно 4 см, S (0; 1; 4).

Середина SB — точка P (1; 1/2; 2). Направляющий вектор SB равен (2; −1; −4), поэтому этот вектор является нормалью к заданной плоскости. Уравнение плоскости через P:

2(x − 1) − (y − 1/2) − 4(z − 2) = 0.

На прямой CD имеем y = 1 и z = 0. Подстановка даёт 2(x − 1) − 1/2 + 8 = 0, откуда x = −13/4. Значит, N (−13/4; 1; 0).

Точки N, D и C лежат на одной прямой, причём D находится между N и C. Поэтому NC = |2 − (−13/4)| = 21/4 см.

Ответ: NC = 21/4 см = 5,25 см.