5. Дан правильный двенадцатиугольник А₁А₂... А₁₂, точка О является его центром. Докажите, что треугольники А₁ОА₂ и А₂ОА₃ имеют равные площади.

Решение: 1. В правильном двенадцатиугольнике все стороны равны, и все углы между сторонами и центром равны. 2. Треугольники A₁OA₂ и A₂OA₃ имеют общую вершину O (центр двенадцатиугольника). 3. Угол между сторонами A₁O и A₂O равен углу между сторонами A₂O и A₃O, так как это углы правильного многоугольника, и они равны $\frac{360}{12}$ = 30 градусов. 4. Площадь треугольника можно вычислить как $\frac{1}{2}ab\sin(C)$, где a и b - стороны, образующие угол C. 5. В треугольниках A₁OA₂ и A₂OA₃ стороны OA₁ = OA₂ = OA₃ (как радиусы описанной окружности), и углы между этими сторонами равны. 6. Таким образом, площади этих треугольников равны: $\frac{1}{2} * OA₁ * OA₂ * \sin(30°) = \frac{1}{2} * OA₂ * OA₃ * \sin(30°)$. Следовательно, треугольники A₁OA₂ и A₂OA₃ имеют равные площади.