6*. Правильный шестиугольник вписан в окружность. Площадь кругового сектора, соответствующего центральному углу шестиугольника, равна 3π. Найдите площадь шестиугольника.

Решение: 1. Правильный шестиугольник состоит из 6 равносторонних треугольников. 2. Центральный угол каждого из этих треугольников равен $\frac{360°}{6} = 60°$. 3. Площадь кругового сектора, соответствующего одному треугольнику, дана как 3$\pi$. 4. Площадь круга, описанного вокруг шестиугольника, в 6 раз больше площади сектора, соответствующего центральному углу шестиугольника: $S_{круг} = 6 * 3\pi = 18\pi$. 5. Площадь круга равна $\pi R^2$, где R - радиус окружности. Отсюда, $\pi R^2 = 18\pi$, следовательно, $R^2 = 18$, и $R = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$. 6. Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности, поэтому $a = 3\sqrt{2}$. 7. Площадь правильного шестиугольника равна $S = \frac{3\sqrt{3}}{2} * a^2$. 8. Подставляем значение стороны: $S = \frac{3\sqrt{3}}{2} * (3\sqrt{2})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} * 18 = 27\sqrt{3}$. Таким образом, площадь шестиугольника равна $27\sqrt{3}$.