Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат. 25. Тип 25 № 52

Пусть дан правильный восьмиугольник ABCDEFGH. Соединим вершины A, C, E, G. Нужно доказать, что ACEG - квадрат.

Так как восьмиугольник правильный, то все его стороны равны, и все углы равны. Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180°(n-2). Значит, сумма углов восьмиугольника равна 180°(8-2) = 180° × 6 = 1080°.

Каждый угол восьмиугольника равен 1080° / 8 = 135°.

Рассмотрим четырехугольник ACEG. Так как восьмиугольник правильный, то AC = CE = EG = GA. Значит, четырехугольник ACEG - ромб.

Найдем угол ACE. ∠BCA = ∠ECD. ∠BCD = 135°. ∠BCA + ∠ACE + ∠ECD = 135°. ∠ACE = 135° - ∠BCA - ∠ECD.

Рассмотрим треугольник ABC. Он равнобедренный, AB = BC, ∠ABC = 135°. ∠BAC = ∠BCA = (180° - 135°) / 2 = 45° / 2 = 22.5°.

∠BCA = 22.5°. ∠ACE = 135° - 22.5° - 22.5° = 135° - 45° = 90°.

Так как ACEG - ромб и ∠ACE = 90°, то ACEG - квадрат.

Ответ: Доказано