Дан прямоугольный параллелепипед ABCDABCD. Его диагональ В₁D составляет с ребро AD угол 45°, а с ребром DC угол 60°. Найдите угол между прямыми BD и DD₁.

Ответ: 45°

Пусть \(\angle B_1DA = 45^\circ\) и \(\angle B_1DC = 60^\circ\).

Пусть ребро AD = a, ребро DC = b и ребро DD₁ = c.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(B_1DA\). Так как угол \(\angle B_1DA = 45^\circ\), то этот треугольник равнобедренный, и \(B_1A = AD = a\). Но \(B_1A = DD_1 = c\). Следовательно, \(a = c\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(B_1DC\). \(tg(60^\circ) = \frac{B_1D}{DC} = \frac{B_1C}{b}\). Отсюда \(B_1C = b \cdot tg(60^\circ) = b\sqrt{3}\).

Также, \(B_1C^2 = B_1B^2 + BC^2\). Значит, \(3b^2 = c^2 + a^2\). Так как \(a = c\), то \(c^2 + b^2 = a^2 + b^2\). Получаем \(c^2 = 2b^2\) и \(c = b\sqrt{2}\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(BDD_1\). Нужно найти угол между \(BD\) и \(DD_1\). Обозначим этот угол через \(\alpha\). Тогда \(tg(\alpha) = \frac{BD}{DD_1}\).

Ответ: 45°