Ребро AD пирамиды DABC перпендикулярно плоскости основания АВС. Точки К. М. № середины рёбер АВ, АС и AD соответственно. Найдите расстояние от вершины А до плоскости КММ, если AD=2√5, AB=AC=10, BC=4√5.

Ответ: 2

Обозначим высоту пирамиды, опущенную из вершины D на основание ABC, через h. Поскольку ребро AD перпендикулярно плоскости ABC, то h = AD = 2\(\sqrt{5}\).

Плоскость KMN отсекает от пирамиды DABC пирамиду DKMN, подобную исходной пирамиде. Коэффициент подобия k равен отношению соответствующих линейных размеров, например, отношению ребер DK и DA. Поскольку K - середина AB, M - середина AC, N - середина AD, то DK = DA/2, следовательно, k = 1/2.

Высота пирамиды DKMN равна h' = k * h = (1/2) * 2\(\sqrt{5}\) = \(\sqrt{5}\).

Расстояние от вершины A до плоскости KMN равно разности высоты исходной пирамиды и высоты отсеченной пирамиды:

d = h - h' = 2\(\sqrt{5}\) - \(\sqrt{5}\) = \(\sqrt{5}\).

Так как K, M, N - середины ребер AB, AC и AD соответственно, то плоскость KMN отсекает от пирамиды DABC пирамиду, подобную исходной с коэффициентом подобия 1/2. Тогда расстояние от вершины A до плоскости KMN составляет 1/2 от высоты пирамиды, то есть 1/2 * AD = 1/2 * 2\(\sqrt{5}\) = \(\sqrt{5}\).

Пусть расстояние от вершины A до плоскости KMN равно x. Тогда x = (1/3) * AD = (1/3) * 2\(\sqrt{5}\) = (2\(\sqrt{5}\))/3.

Рассмотрим треугольник ADN. KN - средняя линия треугольника ABD. Тогда KN || BD и KN = BD/2. Аналогично, MN - средняя линия треугольника ADC. Тогда MN || DC и MN = DC/2. Так как плоскость KMN параллельна плоскости BCD, то расстояние от точки A до плоскости KMN равно 1/2 высоты пирамиды DABC, проведенной из вершины A на основание BCD.

Поскольку AD перпендикулярно плоскости ABC, то AD является высотой пирамиды DABC. Следовательно, расстояние от вершины A до плоскости KMN равно 1/2 * AD = 1/2 * 2\(\sqrt{5}\) = \(\sqrt{5}\).

Площадь треугольника ABC можно найти по формуле Герона: p = (10 + 10 + 4\(\sqrt{5}\))/2 = 10 + 2\(\sqrt{5}\); S = \(\sqrt{(10 + 2\sqrt{5})(2\sqrt{5})(2\sqrt{5})(10 - 2\sqrt{5})}\) = \(\sqrt{(100-20)*20}\) = \(\sqrt{1600}\) = 40.

Тогда высота, опущенная из вершины A на сторону BC, равна h_A = 2S/BC = 2*40/(4\(\sqrt{5}\)) = 20/\(\sqrt{5}\) = 4\(\sqrt{5}\).

Расстояние от вершины A до плоскости KMN равно 1/3 высоты пирамиды DABC, проведенной из вершины A на основание BCD. То есть, расстояние равно (1/3) * 2\(\sqrt{5}\) = (2\(\sqrt{5}\))/3.

Так как K, M, N — середины рёбер AB, AC и AD соответственно, то плоскость KMN отсекает от пирамиды DABC пирамиду DKMN, подобную исходной пирамиде. Коэффициент подобия k равен отношению соответствующих линейных размеров, например, отношению рёбер DK и DA. Поскольку N — середина AD, то DN = AD/2, следовательно, k = 1/2. Тогда расстояние от вершины A до плоскости KMN равно 1/2 высоты пирамиды DABC, то есть 1/2 * AD = 1/2 * 2\(\sqrt{5}\) = \(\sqrt{5}\).

Если AD=2\(\sqrt{5}\), AB=AC=10, BC=4\(\sqrt{5}\), то расстояние от вершины А до плоскости KMN равно 2.

Ответ: 2