16. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDABCD. Его диагональ ВД составляет с ребром AD угол 45°, а с ребром ДС угол 60°. Найдите угол между прямыми BD и DD.

Ответ: 45°

1. Поскольку ABCDA₁B₁C₁D₁ - прямоугольный параллелепипед, то ABCD - прямоугольник. Пусть AB = a, AD = b, DD₁ = c.

2. Угол между диагональю B₁D и ребром AD равен 45°, следовательно, ∠B₁DA = 45°.

3. Угол между диагональю B₁D и ребром DC равен 60°, следовательно, ∠B₁DC = 60°.

4. Нам нужно найти угол между прямыми B₁D и DD₁, то есть угол ∠B₁DD₁.

5. Так как DD₁ перпендикулярна плоскости ABCD, то треугольник B₁DD₁ - прямоугольный, и ∠DD₁B₁ = 90°.

6. В прямоугольном треугольнике DD₁B₁:

   ∠B₁DD₁ = 90° - ∠DB₁D₁

   Треугольник B₁DA прямоугольный, так как ∠DAD₁ = 90°

   Рассмотрим треугольник B₁DA, где ∠B₁DA = 45°, следовательно, треугольник B₁DA равнобедренный и B₁A = AD.

   Рассмотрим треугольник B₁CD, где ∠B₁DC = 60°, следовательно, треугольник B₁CD является прямоугольным с углом 60°.

   Так как B₁A = AD = b

   CD = AB = a, то a = b

   Треугольник ADD₁ прямоугольный и равнобедренный, так как a = b.

   Значит угол ∠AD₁D = 45°, следовательно ∠B₁DD₁ = 45°.

Ответ: 45°