11. В треугольнике АВС угол А равен 45°, АН высота. Окружность, проходящая через точки А. Ни С. пересекает сторону АВ в точке Е. Найдите радиус этой окружности, если ЕС = 4√2.

Ответ: 4

1. Угол A = 45°. Так как AH - высота, то угол AHC = 90°. Поскольку точки A, H, E, C лежат на окружности, то четырехугольник AHEC - вписанный. Значит, сумма противоположных углов равна 180°. Поэтому угол HEC = 180° - A = 180° - 45° = 135°. Тогда угол AEC, смежный с углом HEC, равен 180° - 135° = 45°.

2. Угол HCA = 90° - A = 90° - 45° = 45°. Угол CEA = HCA = 45°, так как опираются на одну и ту же дугу.

3. В треугольнике AEC угол EAC = 45°, угол AEC = 45°, следовательно, треугольник AEC - равнобедренный, и AC = EC = 4√2.

4. Применим теорему синусов для треугольника AEC, чтобы найти радиус описанной окружности:

   \[\frac{EC}{\sin A} = 2R\]

   Подставим известные значения:

   \[\frac{4\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} = 2R\]

   Так как sin 45° = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\):

   \[\frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2R\] \[\frac{4\sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2}} = 2R\] \[8 = 2R\] \[R = 4\]

Ответ: 4