13. Выполните действия. 1) Решите уравнение 2cosxsinx+cosx=1. 2) Укажите кории этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3π/2; -π/4]

Ответ: x = -\(\frac{3\pi}{2}\); x = -\(\frac{\pi}{2}\)

1. Решим уравнение:

   \(2\cos x \sin x + \cos x = 1\)

   \(\cos x(2 \sin x + 1) = 1\)

   Преобразуем уравнение:

   \(2\cos x \sin x + \cos x - 1 = 0\)

   Используем формулу синуса двойного угла: \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\)

   \(\sin 2x + \cos x - 1 = 0\)

   Заменим 1 на \(\sin^2 x + \cos^2 x\):

   \(\sin 2x + \cos x - (\sin^2 x + \cos^2 x) = 0\)

   Разложим \(\sin 2x\) как \(2 \sin x \cos x\):

   \(2 \sin x \cos x + \cos x - \sin^2 x - \cos^2 x = 0\)

   Сгруппируем и вынесем общий множитель:

   \(\cos x (2 \sin x + 1) - (\sin^2 x + \cos^2 x) = 0\)

   \((\cos x - \sin x)(\sin x + \cos x) = 0\)

   Получаем два случая:

   • \(\cos x = 0\) или \(\sin x = 0\)

   • \(\sin x + \cos x = 0\)

   Решим первый случай:

   \(\cos x = 0\)

   \(x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\)

   Решим второй случай:

   \(\sin x + \cos x = 0\)

   \(\sin x = - \cos x\)

   Разделим обе части на \(\cos x\) (при условии, что \(\cos x
   eq 0\)):

   \(\tan x = -1\)

   \(x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\)

2. Отберем корни, принадлежащие отрезку \(\[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{4}\]\):

   • Для \(x = \frac{\pi}{2} + \pi n\):

     \(-\frac{3\pi}{2} \le \frac{\pi}{2} + \pi n \le -\frac{\pi}{4}\)

     Умножим все части на \(\frac{1}{\pi}\):

     \(-\frac{3}{2} \le \frac{1}{2} + n \le -\frac{1}{4}\)

     Вычтем \(\frac{1}{2}\) из всех частей:

     \(-2 \le n \le -\frac{3}{4}\)

     Целое число \(n = -2\)

     Тогда \(x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}\)

   • Для \(x = -\frac{\pi}{4} + \pi k\):

     \(-\frac{3\pi}{2} \le -\frac{\pi}{4} + \pi k \le -\frac{\pi}{4}\)

     Умножим все части на \(\frac{1}{\pi}\):

     \(-\frac{3}{2} \le -\frac{1}{4} + k \le -\frac{1}{4}\)

     Прибавим \(\frac{1}{4}\) ко всем частям:

     \(-\frac{5}{4} \le k \le 0\)

     Целое число \(k = -1, 0\)

     Если \(k = -1\), то \(x = -\frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{5\pi}{4}\)

     Если \(k = 0\), то \(x = -\frac{\pi}{4}\), но этот корень не входит в заданный отрезок.

   Таким образом, корни, принадлежащие отрезку \(\[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{4}\]\) это \(x = -\frac{3\pi}{2}\) и \(x = -\frac{5\pi}{4}\)

Ответ: x = -\(\frac{3\pi}{2}\); x = -\(\frac{\pi}{2}\)