Дана прямоугольная трапеция ABCD (угол А = 90°), в которую вписана окружность радиусом 9 см. Сторона CD равна 24 см. Найди среднюю линию трапеции.

Пусть ABCD - прямоугольная трапеция, где углы A и B прямые, а окружность вписана в трапецию. Радиус вписанной окружности равен 9 см. Значит, высота трапеции (AB) равна удвоенному радиусу, то есть 18 см. CD = 24 см.

Опустим высоту CH на основание AD. Тогда AH = AD - BC и CH = AB = 18 см.

В прямоугольном треугольнике CHD:

$$CD^2 = CH^2 + HD^2$$

$$24^2 = 18^2 + HD^2$$

$$576 = 324 + HD^2$$

$$HD^2 = 252$$

$$HD = \sqrt{252} = 6\sqrt{7}$$

Так как в трапецию вписана окружность, то суммы противоположных сторон равны: AB + CD = BC + AD.

$$18 + 24 = BC + AD$$

$$BC + AD = 42$$

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

$$m = \frac{BC + AD}{2} = \frac{42}{2} = 21$$