24 Дана равнобедренная трапеция ABCD. Точка К лежит на основании AD и равноудалена от концов другого основания. Докажите, что К - середина основания AD.

Дано: равнобедренная трапеция $$ABCD$$, $$AB = CD$$, точка $$K$$ лежит на основании $$AD$$, $$BK = CK$$.

Доказать: $$K$$ - середина $$AD$$, т.е. $$AK = KD$$.

Доказательство:

Трапеция $$ABCD$$ равнобедренная, следовательно, углы при основаниях равны: $$\angle BAD = \angle CDA$$ и $$\angle ABC = \angle DCB$$.

Так как $$BK = CK$$, то $$\triangle BCK$$ - равнобедренный, следовательно, углы при основании $$BC$$ равны: $$\angle KBC = \angle KCB$$.

Трапеция, следовательно основания параллельны, поэтому углы $$\angle KBC$$ и $$\angle BKA$$ - накрест лежащие, и $$\angle KCB$$ и $$\angle CKD$$ - накрест лежащие. Из этого следует, что $$\angle KBC = \angle BKA$$ и $$\angle KCB = \angle CKD$$.

Так как $$\angle KBC = \angle KCB$$, то $$\angle BKA = \angle CKD$$.

Учитывая, что $$\angle ABC = \angle DCB$$, имеем $$\angle ABK = \angle ABC - \angle KBC = \angle DCB - \angle KCB = \angle DCK$$, то есть $$\angle ABK = \angle DCK$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle ABK$$ и $$\triangle CDK$$. У них $$AB = CD$$, $$\angle ABK = \angle DCK$$, $$\angle BKA = \angle CKD$$. Следовательно, $$\triangle ABK = \triangle CDK$$ по стороне и двум прилежащим углам.

Из равенства треугольников следует, что $$AK = KD$$. Значит, $$K$$ - середина $$AD$$.