25 В трапеции KMPS боковая сторона КМ перпендикулярна основанию МР. Окружность проходит через точки Р и S и касается прямой КМ в точке L. Найдите расстояние от точки L до прямой РЅ, если KS = 6, MP=5.

Обозначим расстояние от точки L до прямой PS как h. Пусть O - центр окружности, проходящей через точки P и S и касающейся прямой KM в точке L. Так как KM перпендикулярна MP, угол KMP = 90 градусов. Окружность касается KM в точке L, значит, OL перпендикулярна KM. 1) Так как точки P и S лежат на окружности, LP = LS (L - точка касания, следовательно, высота, медиана и биссектриса) 2) Тогда треугольник LPS - равнобедренный. Пусть h - расстояние от L до PS. Так как LP = LS, то h является высотой и медианой. 3) Пусть h - высота треугольника LPS, опущенная из вершины L на основание PS. Проведём высоту ST из вершины S на основание MP. 4) Обозначим основания трапеции как MP = 5 и KS = 6. Средняя линия трапеции равна (MP + KS)/2 = (5 + 6)/2 = 5.5 5) Пусть N - середина PS. Тогда LN перпендикулярна PS и LN = h (расстояние от L до PS, которое нам нужно найти). 6) Так как ST перпендикулярна MP и KM перпендикулярна MP, то ST || KM. Пусть E - точка пересечения LN и KS. 7) Треугольники LEN и TES подобны (по двум углам). LEN - прямой, TES - прямой и LEN = TES. 8) LE = EN, тогда LN = LN. LN - средняя линия треугольника PST, так как LE=EN и LP=LS. 9) LN = (1/2) * ST ST является высотой трапеции KMPS. Площадь трапеции KMPS равна: S = ((KS + MP)/2) * KM и S = ((6+5)/2) * KM = (11/2) * KM = 5.5 * KM 10) В трапеции KMPS проведена высота ST, тогда: S = (1/2) * (MP + KS) * ST = (1/2) * (5 + 6) * ST = 5.5 * ST 11) Так как ST = KM (высоты проведены перпендикулярно к основаниям), то площадь трапеции S = KM, из этого следует: KM = (MP + KS)/2 = (5 + 6)/2 = 5.5 (потому что KM перпендикулярна основаниям) 12) По условию, KS = 6 и MP = 5, получается, что ST = KM. Тогда h = (1/2) * ST = (1/2) * KM = (1/2) * 5.5 = 2.75 Ответ: 2.75