571 Дана трапеция ABCD, в которой ∠A = 90°, ∠D = 45°, BC = 4 см, CD = 3√2 см. Вычислите площади боковой и полной поверхностей усеченного конуса, образованного вращением данной трапеции вокруг стороны AB.

Определим задачу. Это геометрия, тема – усеченный конус, образованный вращением трапеции. Требуется найти площади боковой и полной поверхностей.

При вращении трапеции ABCD вокруг стороны AB получается усеченный конус, у которого:

• Радиус меньшего основания: $$r = BC = 4 \text{ см}$$

Найдем радиус большего основания (AD). Опустим высоту CE на AD. Треугольник CDE - прямоугольный, углом ∠D = 45°, значит, он равнобедренный: CE = ED. CE = AB - высота усеченного конуса.

Найдем ED из треугольника CDE:

$$ED = CD \cdot \cos{45^\circ} = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3 \text{ см}$$

Тогда AD = AE + ED = BC + ED = 4 + 3 = 7 см.

• Радиус большего основания: $$R = 7 \text{ см}$$

Образующая усеченного конуса равна CD = 3√2 см.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса:

$$S_{бок} = \pi (r + R) l = \pi (4 + 7) \cdot 3\sqrt{2} = 33\sqrt{2} \pi \text{ см}^2$$

Площадь полной поверхности усеченного конуса:

$$S_{полн} = S_{бок} + \pi r^2 + \pi R^2 = 33\sqrt{2} \pi + \pi \cdot 4^2 + \pi \cdot 7^2 = 33\sqrt{2} \pi + 16\pi + 49\pi = (33\sqrt{2} + 65)\pi \text{ см}^2$$

Ответ: Боковая поверхность: $$33\sqrt{2} \pi \text{ см}^2$$, Полная поверхность: $$(33\sqrt{2} + 65)\pi \text{ см}^2$$