570 Площадь боковой поверхности конуса равна 80 см². Через середину высоты конуса проведена плоскость, перпендикулярная к высоте. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося при этом усеченного конуса.

Определим задачу. Это геометрия, тема – конус и усеченный конус. Требуется найти площадь боковой поверхности усеченного конуса, полученного в результате сечения конуса.

Когда конус пересекается плоскостью, параллельной основанию и проходящей через середину высоты, то радиус верхнего основания усеченного конуса равен половине радиуса исходного конуса, а образующая усеченного конуса равна половине образующей исходного конуса.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:

$$S = \pi r l$$

где r – радиус основания, l – образующая конуса.

Для исходного конуса:

$$S_1 = \pi r_1 l_1 = 80 \text{ см}^2$$

Для усеченного конуса:

• Радиус верхнего основания: $$r_2 = \frac{r_1}{2}$$
• Радиус нижнего основания: $$r_1$$
• Образующая: $$l_2 = \frac{l_1}{2}$$

Площадь боковой поверхности усеченного конуса:

$$S_2 = \pi (r_1 + r_2) l_2 = \pi (r_1 + \frac{r_1}{2}) \frac{l_1}{2} = \pi \frac{3r_1}{2} \frac{l_1}{2} = \frac{3}{4} \pi r_1 l_1 = \frac{3}{4} S_1$$

Подставим значение площади исходного конуса:

$$S_2 = \frac{3}{4} \cdot 80 = 60 \text{ см}^2$$

Ответ: 60 см²