569 Радиусы оснований усеченного конуса равны R и r, где R > r, а образующая составляет с плоскостью основания угол в 45°. Найдите площадь осевого сечения.

Определим задачу. Это геометрия, тема – усеченный конус. Требуется найти площадь осевого сечения.

Осевое сечение усеченного конуса – равнобедренная трапеция. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.

$$S = \frac{(a + b)}{2} \cdot h$$

В нашем случае:

• a = 2r
• b = 2R

Высота может быть найдена из прямоугольного треугольника, образованного высотой, образующей и разностью радиусов. Поскольку угол между образующей и плоскостью основания равен 45°, то высота равна разности радиусов:

$$h = R - r$$

Тогда площадь осевого сечения:

$$S = \frac{(2r + 2R)}{2} \cdot (R - r) = (r + R)(R - r) = R^2 - r^2$$

Ответ: $$R^2 - r^2$$