4. Дано: ∠ABC = 60°, Rопис. сферы = 6. Найдите Ѕбок, кон

4. Дано: ∠ABC = 60°, $$R_{опис. сферы} = 6$$.

Найти: $$S_{бок. кон.}$$

Решение:

Т.к. в основании конуса равносторонний треугольник и ∠ABC = 60°, то радиус основания равен радиусу описанной окружности около этого треугольника.

1) Найдем сторону основания:

$$a = R \sqrt{3} = 6\sqrt{3}$$

2) Т.к. треугольник ABC равносторонний, то $$AB = BC = AC = 6\sqrt{3}$$.

3) Т.к. центр описанной сферы совпадает с центром основания конуса, то высота конуса равна радиусу описанной сферы. Следовательно, H = 6.

4) Найдем радиус основания конуса:

$$r = R_{опис. сферы} = 6$$

5) Найдем образующую конуса по теореме Пифагора:

$$l = \sqrt{R^2 + H^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$$

6) Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины периметра основания на образующую:

$$S_{бок. кон.} = \frac{1}{2} \cdot P_{осн.} \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot AB \cdot l = \frac{3}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 6\sqrt{2} = 54\sqrt{6}$$

Ответ: $$S_{бок. кон.} = 54\sqrt{6}$$