6. Дано: АВ ⊥ а, АС = 6√2. ∠ACB=30°, ∠BAD = 45°. Найдите AD.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC (угол B = 90°), так как AB перпендикулярна плоскости α.

2. Используем определение косинуса угла: $$\cos{\angle ACB} = \frac{BC}{AC}$$.

3. Выразим BC: $$BC = AC \cdot \cos{\angle ACB}$$.

4. Подставим значения: $$BC = 6\sqrt{2} \cdot \cos{30°} = 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{6}$$.

5. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD (угол B = 90°), так как AB перпендикулярна плоскости α.

6. По теореме Пифагора: $$AD^2 = AB^2 + BD^2$$.

7. Выразим $$AB^2$$ из прямоугольного треугольника ABC:$$AB^2 = AC^2 - BC^2 = (6\sqrt{2})^2 - (3\sqrt{6})^2 = 72 - 54 = 18$$.

8. Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник ABD (∠BAD = 45°), следовательно, AB=BD.

9. $$BD^2=18$$.

10. Подставим значения в теорему Пифагора: $$AD^2 = AB^2 + BD^2 = 18 + 18 = 36$$.

11. Найдем AD: $$AD = \sqrt{36} = 6$$.

Ответ: 6