1. Дано: А=В, CO=4, DO=6, AO=5. Puc. 1 D Найти: а) ОВ; 6) AC:BD; B) SAOC:SBOD.

Рассмотрим треугольники AOB и COD.

a) Дано: $$\angle A = \angle B$$, следовательно, $$\angle A = \angle B = \alpha$$.

Тогда $$\angle AOB = 180^\circ - 2\alpha$$.

$$\angle COD = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha$$ как вертикальные углы.

В треугольнике COD: $$\angle C = \angle D = (180^\circ - (180^\circ - 2\alpha)) / 2 = \alpha$$.

Значит, $$\triangle AOB \sim \triangle DOC$$ (по двум углам).

Следовательно, $$\frac{AO}{DO} = \frac{BO}{CO}$$.

$$\frac{5}{6} = \frac{BO}{4}$$

$$BO = \frac{5 \cdot 4}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$$

$$BO = 3\frac{1}{3}$$

б) $$\frac{AC}{BD} = \frac{AO+OC}{BO+OD} = \frac{5+4}{\frac{10}{3}+6} = \frac{9}{\frac{10+18}{3}} = \frac{9}{\frac{28}{3}} = \frac{9 \cdot 3}{28} = \frac{27}{28}$$

в) $$S_{AOC} : S_{BOD}$$

$$\frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AO \cdot CO \cdot sin(\angle AOC)}{\frac{1}{2} \cdot BO \cdot DO \cdot sin(\angle BOD)}$$

$$\angle AOC = \angle BOD$$ как вертикальные.

$$\frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} = \frac{AO \cdot CO}{BO \cdot DO} = \frac{5 \cdot 4}{\frac{10}{3} \cdot 6} = \frac{20}{20} = 1 $$

a) $$OB = 3\frac{1}{3}$$

б) $$\frac{AC}{BD} = \frac{27}{28}$$

в) $$S_{AOC} : S_{BOD} = 1 $$

Ответ: a) $$3\frac{1}{3}$$; б) $$\frac{27}{28}$$; в) 1