4. В трапеции ABCD (AD и ВС - основания) диагонали пересекаются в точке О, AD= 12 см, ВС = 4 см. Найдите площадь треугольника ВОС, если площадь треугольника AOD равна 45 см².

Площади треугольников, образованных диагоналями трапеции, прилежащих к боковым сторонам равны, т.е. $$S_{ABO} = S_{CDO}$$

Треугольники BOC и AOD подобны.

Коэффициент подобия $$k = \frac{BC}{AD} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$

$$\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = k^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$$

$$S_{BOC} = \frac{1}{9} S_{AOD} = \frac{1}{9} \cdot 45 = 5$$ см².

Ответ: 5 см²